Jaký je význam a rozdíl mezi nejistotou a chybami (tolerance)

Když měříme věci jako délka, hmotnost nebo čas, můžeme dělat chyby, které ovlivňují naše výsledky. Tyto chyby se nazývají chyby a stávají se, když se během procesu měření něco pokazí. Chyby mohou být způsobeny věcmi, jako jsou nástroje, které používáme, lidé čtoucí měření nebo systém, který používáme k měření. Pokud je například teploměr rozbitý a ukazuje špatnou teplotu, každý odečet, který provedeme, bude o stejnou hodnotu nižší. To znamená, že naše měření budou vždy trochu nejistá, protože nejsou úplně stejná jako skutečná hodnota. Když tedy něco měříme a nejsme si jisti, jaká je skutečná hodnota, musíme zvážit rozsah možných hodnot, kterému říkáme rozsah nejistoty. Pochopení nejistoty a chyb je důležité, protože nám pomáhá lépe se rozhodovat s informacemi, které máme.

Rozdíl mezi nejistotou a chybou

Chyby a nejistoty jsou důležité pojmy v měření, ale vztahují se k mírně odlišným věcem. Chyba je rozdíl mezi skutečnou hodnotou a naměřenou hodnotou, zatímco nejistota je odhad rozsahu možných hodnot, ve kterých by skutečná hodnota mohla být, na základě spolehlivosti měření.

Podívejme se na příklad měření odporu. Víme, že akceptovaná hodnota odporu materiálu je 3.4 ohmu, ale když ji změříme dvakrát, dostaneme mírně odlišné hodnoty 3.35 a 3.41 ohmu. Tyto rozdíly jsou výsledkem chyb. Avšak rozsah mezi těmito dvěma hodnotami, který je 0.06 ohmů, je rozsah nejistoty.

Dalším příkladem je měření gravitační konstanty v laboratoři. Přijatý standard pro gravitační zrychlení je 9.81 m/s^2. V laboratoři změříme zrychlení pomocí kyvadla a dostaneme hodnoty 9.76 m/s^2, 9.6 m/s^2, 9.89 m/s^2 a 9.9 m/s^2. Tyto variace jsou výsledkem chyb. Střední hodnota je 9.78 m/s^2, zatímco rozsah nejistoty je mezi 9.6 m/s^2 a 9.9 m/s^2. Absolutní nejistota je přibližně polovina rozsahu, což je rozdíl mezi maximální a minimální hodnotou dělený dvěma.

Porozumění chybám a nejistotám je důležité, protože nám pomáhá znát spolehlivost našich měření a rozsah možných hodnot, ve kterých by mohla být skutečná hodnota. Tyto znalosti jsou klíčové pro přijímání informovaných rozhodnutí na základě údajů, které shromažďujeme.

Jaká je standardní chyba v průměru?

Standardní chyba v průměru je hodnota, která nám říká, jak velkou chybu máme v našich měřeních ve srovnání s průměrem. Abychom to mohli vypočítat, musíme provést několik kroků:

1. Najděte střední hodnotu všech měření.
2. Odečtěte průměr od každé naměřené hodnoty a výsledky umocněte.
3. Sečtěte všechny odečtené hodnoty.
4. Výsledek vydělte druhou odmocninou z celkového počtu provedených měření.

Podívejme se na příklad. Představte si, že jste předmět vážili čtyřikrát a víte, že by měl vážit přesně 3.0 kg s přesností menší než jeden gram. Vaše čtyři měření vám dávají 3.001 kg, 2.997 kg, 3.003 kg a 3.002 kg. Abychom získali chybu ve střední hodnotě, musíme nejprve vypočítat střední hodnotu:

(3.001 kg + 2.997 kg + 3.003 kg + 3.002 kg) / 4 = 3.000 kg

Protože naše měření mají pouze tři platné číslice za desetinnou čárkou, bereme hodnotu jako 3.000 XNUMX kg. Dále musíme od každého měření odečíst průměr a výsledek umocnit:

(3.001 kg – 3.000 kg)^2 = 0.000001 kg^2

(2.997 kg – 3.000 kg)^2 = 0.000009 kg^2

(3.003 kg – 3.000 kg)^2 = 0.000009 kg^2

(3.002 kg – 3.000 kg)^2 = 0.000004 kg^2

Protože jsou tyto hodnoty tak malé a bereme pouze tři platná čísla za desetinnou čárkou, považujeme první hodnotu za 0. Nyní můžeme sečíst všechny druhé mocniny rozdílů:

0 + 0.000009 kg^2 + 0.000009 kg^2 + 0.000004 kg^2 = 0.000022 kg^2

Když to vydělíme druhou odmocninou počtu vzorků (což je √4), dostaneme:

√(0.000022 kg^2 / 4) = 0.002 kg

V tomto případě je standardní chyba průměru (σx) téměř nic. To znamená, že naše měření byla velmi blízko skutečné hodnotě hmotnosti objektu.

Co je kalibrace a tolerance?

Tolerance je rozsah mezi maximální a minimální povolenou hodnotou pro měření. Kalibrace je proces vyladění měřicího přístroje tak, aby všechna měření spadala do tolerančního rozsahu. Při kalibraci přístroje se jeho výsledky porovnávají s jinými přístroji s vyšší přesností a přesností nebo s objektem, jehož hodnota má velmi vysokou přesnost.

Jedním z příkladů je kalibrace váhy.

Je však důležité si uvědomit, že kalibrace není jednorázový proces. Váhy je třeba pravidelně rekalibrovat, aby byla zachována jejich přesnost. Faktory prostředí, jako je teplota, vlhkost a tlak vzduchu, mohou také ovlivnit hodnoty na stupnici, takže je důležité je vzít v úvahu při kalibraci váhy.

Kromě toho je důležité používat závaží, která jsou vhodná pro kalibrovanou váhu. Použití příliš těžkých nebo příliš lehkých závaží může ovlivnit přesnost kalibrace.

Celkově vzato je kalibrace váhy kritickým krokem k zajištění přesných a spolehlivých měření. Je důležité dodržovat správné postupy kalibrace a pravidelně váhu znovu kalibrovat, aby byla zachována její přesnost.

Jak se hlásí nejistota?

Při provádění měření je důležité uvést nejistotu spojenou s naměřenou hodnotou. To pomáhá čtenářům porozumět potenciálním odchylkám v měření a úrovni spolehlivosti, kterou lze vložit do uváděné hodnoty.

Řekněme například, že naměříme hodnotu odporu 4.5 ohmu s nejistotou 0.1 ohmu. Udávaná hodnota s její nejistotou by byla 4.5 ± 0.1 ohmu. To znamená, že jsme si jisti, že skutečná hodnota odporu spadá do rozsahu 4.4 ohmů až 4.6 ohmů.

Hodnoty nejistoty se nacházejí v mnoha procesech, od výroby přes design a architekturu až po mechaniku a medicínu. Jsou důležitým aspektem pro přesné a spolehlivé měření a vykazování výsledků. Vykazováním hodnot nejistoty můžeme snížit chyby a zlepšit kvalitu našich měření, což je zásadní v mnoha oblastech, včetně vědeckého výzkumu, inženýrství a zdravotnictví.

Co jsou absolutní a relativní chyby?

Chyby v měření jsou buď absolutní nebo relativní. Absolutní chyby popisují rozdíl od očekávané hodnoty. Relativní chyby měří, jak velký je rozdíl mezi absolutní chybou a skutečnou hodnotou.

Absolutní chyba

Pro výpočet absolutní chyby v tomto příkladu odečteme očekávanou hodnotu (1.4 m/s) od naměřené hodnoty (1.42 m/s):

Absolutní chyba = naměřená hodnota – očekávaná hodnota
Absolutní chyba = 1.42 m/s – 1.4 m/s
Absolutní chyba = 0.02 m/s

Takže absolutní chyba v tomto případě je 0.02 m/s. To znamená, že naše naměřená hodnota se odchyluje od očekávané hodnoty o 0.02 m/s.

Je důležité si uvědomit, že absolutní chyba může být kladná nebo záporná. Kladná absolutní chyba znamená, že naměřená hodnota je vyšší než očekávaná hodnota, zatímco záporná absolutní chyba znamená, že naměřená hodnota je nižší než očekávaná hodnota. V tomto případě je naše absolutní chyba kladná, což znamená, že naše naměřená hodnota je o něco vyšší než očekávaná hodnota.

Absolutní chyba je užitečným měřítkem přesnosti měření, ale neříká nám nic o přesnosti měření. Abychom mohli vyhodnotit přesnost, musíme se podívat na rozsah hodnot získaných z více měření stejné veličiny.

Relativní chyba

Relativní chyba je míra rozdílu mezi naměřenou hodnotou a očekávanou hodnotou, vyjádřená jako procento očekávané hodnoty. Je užitečný pro porovnávání hodnot různých velikostí, protože bere v úvahu měřítko měřených hodnot.

Pro výpočet relativní chyby vydělíme absolutní chybu očekávanou hodnotou a vynásobíme 100, abychom dostali procento:

Relativní chyba = (absolutní chyba / očekávaná hodnota) x 100 %

Při použití předchozího příkladu byla absolutní chyba 0.02 m/s a očekávaná hodnota byla 1.4 m/s. Relativní chyba je tedy:

Relativní chyba = (0.02 m/s / 1.4 m/s) x 100 %
Relativní chyba = 1.43 %

Jak vidíme, relativní chyba je menší než absolutní chyba, protože bere v úvahu velikost měřených hodnot. V tomto případě je rozdíl mezi naměřenou hodnotou a očekávanou hodnotou pouze 1.43 % očekávané hodnoty.

Dalším příkladem rozdílu v měřítku je chyba na satelitním snímku. Pokud má chyba obrazu hodnotu 10 metrů, je v lidském měřítku velká. Pokud však snímek měří 10 kilometrů na výšku a 10 kilometrů na šířku, je chyba 10 metrů malá, protože se jedná pouze o 0.1 % celkové plochy.

Hlášení relativní chyby v procentech může čtenářům pomoci pochopit význam chyby a její vztah k očekávané hodnotě.

Vykreslování nejistot a chyb

Nejistoty jsou vykresleny jako sloupce v grafech a tabulkách. Sloupce sahají od naměřené hodnoty k maximální a minimální možné hodnotě. Rozsah mezi maximální a minimální hodnotou je rozsah nejistoty. Viz následující příklad sloupců nejistoty:

‍

Podívejte se na následující příklad s několika měřeními:

Provedete čtyři měření rychlosti koule pohybující se o 10 metrů, jejíž rychlost se s postupujícím postupem snižuje. Označíte 1metrové oddíly a pomocí stopek změříte dobu, kterou mezi nimi trvá pohyb míčku. Víte, že vaše reakce na stopky je kolem 0.2 m/s. Měřením času pomocí stopek a dělením vzdáleností získáte hodnoty rovné 1.4 m/s, 1.22 m/s, 1.15 m/s a 1.01 m/s. Protože reakce na stopky je zpožděná, vzniká nejistota 0.2 m/s, vaše výsledky jsou 1.4 ± 0.2 m/s, 1.22 ± 0.2 m/s, 1.15 ± 0.2 m/s a 1.01 ± 0.2 m/s. Graf výsledků lze uvést následovně:

Jak se šíří nejistoty a chyby?

Při provádění výpočtů s hodnotami, které mají nejistoty a chyby, je důležité tyto nejistoty zahrnout do našich výpočtů, protože mohou ovlivnit přesnost našich výsledků. Tento proces se nazývá šíření nejistoty nebo šíření chyb a může vést k odchylce od skutečných dat nebo odchylce dat.

Existují dva přístupy k šíření nejistoty: procentuální chyba a absolutní chyba. V přístupu s procentuální chybou vypočítáme relativní chybu pro každé měření a sečteme je, abychom určili celkové procento šíření chyby. V přístupu s absolutní chybou sečteme absolutní chyby každého měření, abychom určili celkové šíření absolutní chyby.

Pokud například naměříme tíhové zrychlení jako 9.91 m/s^2 s nejistotou ± 0.1 m/s^2 a hmotnost předmětu jako 2 ± 0.001 kg, vypočítali bychom relativní chybu pro tíhové zrychlení jako 1 % a relativní chyba pro hmotnost je 0.05 %. Tyto relativní chyby bychom pak sečetli, abychom určili celkové procento šíření chyb.

Abychom vypočítali šíření nejistoty v našich výsledcích, musíme vypočítat očekávanou hodnotu se zahrnutými nejistotami. Například pro výpočet síly vyvolané padajícím předmětem bychom použili vzorec F = m * g, kde m je hmotnost a g je tíhové zrychlení. Potom bychom vypočítali sílu pomocí naměřených hodnot s jejich nejistotami. Výsledek by byl vyjádřen jako „očekávaná hodnota ± hodnota nejistoty“.

Je důležité hlásit nejistoty a chyby v našich výsledcích, abychom zajistili, že ostatní pochopí přesnost a spolehlivost našich měření a výpočtů.

Vykazování nejistot

K vykázání výsledku s nejistotami používáme vypočítanou hodnotu následovanou nejistotou. Můžeme se rozhodnout umístit množství do závorky. Zde je příklad, jak hlásit nejistoty. Měříme sílu a podle našich výsledků má síla nejistotu 0.21 Newtonu. Náš výsledek je 19.62 Newtonů, což má možnou odchylku plus minus 0.21 Newtonu.

Šíření nejistot

Při šíření nejistot ve výpočtech existují obecná pravidla, která lze použít k určení celkové nejistoty:

Sčítání a odečítání: Při sčítání nebo odečítání hodnot je celková nejistota výsledkem sčítání nebo odečítání jednotlivých nejistot. Máme-li například dvě měření (A ± a) a (B ± b) a sečteme je, výsledek bude (A + B) ± (a + b).

Pokud například přidáme dva kusy kovu o délkách 1.3 m a 1.2 m, s nejistotami ± 0.05 m a ± 0.01 m, bude celková délka 1.5 m s nejistotou ± (0.05 m + 0.01 m ) = ± 0.06 m.

Násobení přesným číslem: Při násobení hodnoty přesným číslem se celková nejistota vypočítá vynásobením nejistoty přesným číslem. Pokud například počítáme plochu kruhu o poloměru r = 1 ± 0.1 m, nejistota v oblasti bude 2 • 3.1415 • 1 ± 0.1 m, což nám dává hodnotu nejistoty 0.6283 m.

Dělení přesným číslem: Při dělení hodnoty přesným číslem se celková nejistota vypočítá vydělením nejistoty přesnou hodnotou. Například, pokud máme délku 1.2 m s nejistotou ± 0.03 m a vydělíme ji 5, nejistota ve výsledku bude ± 0.03 / 5 nebo ± 0.006.

Odchylka dat

Když provádíme výpočty pomocí hodnot s nejistotami, výsledná data budou mít také odchylku od skutečných dat, kterou můžeme vypočítat pomocí odchylky dat (symbol 'δ'). Odchylka dat se mění v závislosti na typu operace, která se s hodnotami provádí.

Odchylka dat po sečtení nebo odečtení: Pro výpočet odchylky dat výsledků musíme vypočítat druhou odmocninu součtu druhých mocnin nejistot:

δ = sqrt(a^2 + b^2)

Pokud například odečteme dvě hodnoty, A = 10 ± 0.2 a B = 8 ± 0.3, výsledkem bude C = A – B = 2 ± 0.4. Odchylka dat C je δ = sqrt(0.2^2 + 0.3^2) = 0.36.

Odchylka dat po násobení nebo dělení: Pro výpočet odchylky dat několika měření potřebujeme poměr nejistoty a reálné hodnoty a poté vypočítat druhou odmocninu ze součtu druhých mocnin. Pokud máme například dvě hodnoty A ± a a B ± b a vynásobíme je, výsledek bude C = A * B ± (A*B) * sqrt((a/A)^2 + (b/ B)^2). Pokud máme více než dvě hodnoty, musíme do rovnice přidat další členy.

Odchylka dat, pokud se jedná o exponenty: Pokud máme hodnotu s exponentem, musíme exponent vynásobit nejistotou a poté použít vzorec pro násobení a dělení. Pokud máme například y = (A ± a)^2 * (B ± b)^3, bude odchylka dat:

δ = sqrt((2Aa)^2 + (3Bb)^2)

Pokud máme více než dvě hodnoty, musíme do rovnice přidat další členy.

Výpočtem odchylky dat můžeme posoudit dopad nejistot na naše výsledky a určit přesnost a spolehlivost našich měření a výpočtů.

Zaokrouhlovací čísla

Při řešení chyb a nejistot je často nutné čísla zaokrouhlit, aby byly lépe zvládnutelné. To je užitečné zejména při řešení velmi malých nebo velmi velkých nejistot, které významně neovlivňují naše výsledky. Zaokrouhlování čísel může zahrnovat zaokrouhlování nahoru nebo dolů.

Například při měření hodnoty gravitační konstanty na zemi je naše hodnota 9.81 m/s^2, s nejistotou ±0.10003 m/s^2. Hodnota nejistoty za desetinnou čárkou je 0.0003, což je velmi málo ve srovnání s hodnotou nejistoty 0.1. Můžeme tedy odstranit číslice za první desetinnou čárkou a zaokrouhlit nahoru na ±0.1 m/s^2, protože by to významně neovlivnilo naše měření.

Je však důležité si uvědomit, že zaokrouhlování může také způsobit chyby, zejména když zaokrouhlujeme na nízký počet platných číslic. Proto je důležité zvážit úroveň přesnosti požadovanou pro naše měření a výpočty, než se rozhodneme naše hodnoty zaokrouhlit nebo zkrátit.

Zaokrouhlování celých a desetinných čísel

Zaokrouhlování čísel zahrnuje rozhodnutí, které hodnoty jsou významné, na základě velikosti dat a úrovně přesnosti požadované pro naše měření a výpočty. Při zaokrouhlování čísel jsou dvě možnosti: zaokrouhlení nahoru nebo zaokrouhlení dolů. Volba, kterou zvolíme, závisí na čísle za číslicí, o které si myslíme, že je nejnižší hodnotou, která je důležitá.

Při zaokrouhlování nahoru eliminujeme čísla, o kterých si myslíme, že nejsou nutná. Můžeme například zaokrouhlit 3.25 na 3.3. Při zaokrouhlování dolů vyřazujeme i čísla, o kterých si myslíme, že nejsou nutná. Například můžeme zaokrouhlit dolů 76.24 na 76.2.

Obecným pravidlem pro zaokrouhlování nahoru a dolů je, že pokud číslo končí jakoukoli číslicí mezi 1 a 5, bude zaokrouhleno dolů. Pokud číslice končí mezi 5 a 9, zaokrouhlí se nahoru, zatímco 5 se vždy zaokrouhlí nahoru. Například z 3.16 a 3.15 se stane 3.2, zatímco z 3.14 se stane 3.1.

Když položíme otázku, můžeme na základě daných údajů často odvodit požadovaný počet desetinných míst (nebo platných číslic). Pokud například dostaneme graf s čísly, která mají pouze dvě desetinná místa, očekává se, že do svých odpovědí zahrneme dvě desetinná místa. Je velmi důležité věnovat pozornost úrovni přesnosti požadované pro naše měření a výpočty, abychom určili vhodný počet desetinných míst nebo platných číslic.

Kulaté veličiny s nejistotami a chybami

Při měření s chybami a nejistotami určují hodnoty s vyššími chybami a nejistotami celkovou nejistotu a chybové hodnoty. Při odpovídání na otázky, které vyžadují určitý počet desetinných nebo platných číslic, je nutný jiný přístup.

Máme-li například dvě hodnoty (9.3 ± 0.4) a (10.2 ± 0.14) a sečteme je, musíme sečíst i jejich nejistoty. Celková nejistota je součtem absolutních hodnot jednotlivých nejistot, který je ±0.54. Zaokrouhlením 0.54 na nejbližší celé číslo dostaneme 0.5. Proto výsledek sečtení obou čísel a jejich nejistot a zaokrouhlení výsledku je 19.5 ± 0.5m.

Pokud dostaneme dvě hodnoty k vynásobení a obě mají nejistoty a jsme požádáni o výpočet celkové rozšířené chyby, můžeme vypočítat procentuální chybu obou hodnot a sečíst je, abychom dostali celkovou chybu. Pokud například A = 3.4 ± 0.01 a B = 5.6 ± 0.1, procentuální chyby jsou 0.29 % a 1.78 %. Celková chyba je součtem procentuálních chyb, což je 2.07 %. Pokud jsme požádáni o přiblížení odpovědi na jedno desetinné místo, můžeme buď vzít první desetinné místo, nebo zaokrouhlit číslo nahoru.

Stručně řečeno, nejistoty a chyby způsobují odchylky v měření a jejich výpočtech a je zásadní nejistoty hlásit, aby uživatelé mohli vědět, jak moc se může naměřená hodnota lišit. Chyby a nejistoty se šíří, když provádíme výpočty s daty, která mají chyby nebo nejistoty, a musíme vzít v úvahu chybu dat s největší chybou nebo nejistotou. Je užitečné vypočítat, jak se chyba šíří, abychom mohli určit, jak spolehlivé jsou naše výsledky.

Nejistota a chyby

Jaký je rozdíl mezi chybou a nejistotou měření?

Chyby jsou rozdíl mezi naměřenou hodnotou a skutečnou nebo očekávanou hodnotou; nejistota je rozsah odchylky mezi naměřenou hodnotou a očekávanou nebo skutečnou hodnotou. 

Jak se počítá nejistota ve fyzice?

Pro výpočet nejistoty vezmeme přijatou nebo očekávanou hodnotu a odečteme nejvzdálenější hodnotu od očekávané. Nejistota je absolutní hodnota tohoto výsledku.