Jaký je význam a rozdíl mezi nejistotou a chybami (tolerance)

Nejistota a chyby

Při měření fyzikálních veličin, jako je délka, hmotnost nebo čas, může během procesu měření dojít k chybám, které ovlivní výsledky. Tyto chyby se nazývají chyby. Chyby mohou být způsobeny různými faktory, jako jsou vadné měřicí nástroje, lidská chyba při čtení měření nebo problémy s měřicím systémem. Pokud například teploměr nefunguje správně a ukazuje nesprávnou teplotu, bude každý naměřený údaj o určité hodnotě mimo. Tím jsou naše měření nejistá, protože přesně neodpovídají skutečné hodnotě. Když si nejsme jisti skutečnou hodnotou měření, zvažujeme rozsah možných hodnot, známý jako rozsah nejistoty. Pochopení nejistoty a chyb je zásadní, protože nám pomáhá činit informovanější rozhodnutí na základě dostupných informací.

Rozdíl mezi nejistotou a chybou

Chyby i nejistoty jsou důležité pojmy v měření, ale mají odlišný význam. Chyba je číselný rozdíl mezi skutečnou hodnotou a naměřenou hodnotou. Na druhé straně nejistota je odhad rozsahu, ve kterém se skutečná hodnota pravděpodobně bude nacházet na základě spolehlivosti měření.

Uvažujme příklad měření odporu. Předpokládejme, že přijatelná hodnota odporu materiálu je 3.4 ohmu. Když to změříme dvakrát a dostaneme hodnoty 3.35 ohmů a 3.41 ohmů, rozdíly mezi těmito naměřenými hodnotami a přijatou hodnotou jsou chyby. Rozsah mezi dvěma naměřenými hodnotami, který je 0.06 ohmů (3.41 – 3.35), představuje rozsah nejistoty.

Dalším příkladem je měření gravitační konstanty v laboratoři. Přijatý standard pro gravitační zrychlení je 9.81 m/s². V experimentu s použitím kyvadla získáme hodnoty jako 9.76 m/s², 9.6 m/s², 9.89 m/s² a 9.9 m/s². Tyto odchylky od přijaté hodnoty jsou chyby. Střední hodnota těchto měření je 9.78 m/s² a rozsah nejistoty je od 9.6 m/s² do 9.9 m/s². Absolutní nejistota je přibližně polovina tohoto rozsahu, počítáno jako (9.9 – 9.6) / 2 = 0.15 m/s².
Pochopení chyb a nejistot nám pomáhá posoudit spolehlivost našich měření a určit rozsah možných hodnot skutečné veličiny. Tyto znalosti jsou nezbytné pro přijímání dobře podložených rozhodnutí na základě shromážděných dat.

Jaká je standardní chyba v průměru?

Směrodatná chyba v průměru je hodnota, která udává, jak moc se měření odchylují od střední hodnoty. Chcete-li jej vypočítat, postupujte takto:

1. Vypočítejte průměr: Najděte střední hodnotu všech měření.
2. Odečíst a odmocni: Odečtěte průměr od každé naměřené hodnoty a umocněte výsledky.
3. Sečtěte hodnoty: Sečtěte všechny odečtené hodnoty.
4. Vydělte druhou odmocninou velikosti vzorku: Součet vydělte druhou odmocninou z celkového počtu provedených měření.

Představte si například, že vážíte předmět čtyřikrát. Je známo, že předmět váží přesně 3.0 kg s přesností menší než jeden gram. Vaše čtyři míry jsou 3.001 kg, 2.997 kg, 3.003 kg a 3.002 kg.

• Nejprve vypočítejte průměr: (3.001 kg + 2.997 kg + 3.003 kg + 3.002 kg) / 4 = 3.00075 kg. Protože naše měření mají pouze tři platné číslice za desetinnou čárkou, bereme hodnotu jako 3.000 XNUMX kg.
• Poté odečtěte průměr od každého měření a výsledek umocněte:
(3.001 kg – 3.000 kg)² = 0.000001 kg²
(2.997 kg – 3.000 kg)² = 0.000009 kg²
(3.003 kg – 3.000 kg)² = 0.000009 kg²
(3.002 kg – 3.000 kg)² = 0.000004 kg²
Pokud vezmeme v úvahu pouze tři platná čísla za desetinnou čárkou, můžeme první hodnotu aproximovat jako 0.
• Dále sečtěte všechny druhé mocniny rozdílů: 0 + 0.000009 kg² + 0.000009 kg² + 0.000004 kg² = 0.000022 kg²
• Nakonec vydělte druhou odmocninou počtu vzorků (√4 = 2): √(0.000022 kg² / 4) = 0.002 kg

V tomto případě je standardní chyba průměru (σx) velmi malá, což naznačuje, že naše měření se blíží skutečné hodnotě hmotnosti objektu.

Co je kalibrace a tolerance?

Tolerance se týká rozsahu mezi maximální a minimální povolenou hodnotou pro měření. Kalibrace je na druhé straně proces nastavení měřicího přístroje, aby se zajistilo, že všechna jeho měření spadají do tolerančního rozsahu. Při kalibraci přístroje se výsledky jeho měření porovnávají s výsledky přesnějších a přesnějších přístrojů nebo s referenčním objektem o známé vysoké – přesné hodnotě.

Jedním z příkladů je kalibrace váhy

Kalibrace není jednorázový úkol. Váhy je třeba pravidelně rekalibrovat, aby byla zachována jejich přesnost. Faktory prostředí, jako je teplota, vlhkost a tlak vzduchu, mohou ovlivnit hodnoty na stupnici. Například změny teploty mohou způsobit, že se kovové součásti váhy roztahují nebo smršťují, což vede k nepřesným měřením. Proto je důležité vzít tyto faktory prostředí v úvahu při kalibraci.

Při kalibraci váhy je také důležité použít vhodná závaží. Použití závaží, která jsou příliš těžká nebo příliš lehká, může narušit proces kalibrace a ovlivnit přesnost váhy. Celkově je kalibrace váhy zásadním krokem k získání přesných a spolehlivých měření. Dodržování správných kalibračních postupů a pravidelná rekalibrace jsou nezbytné pro udržení přesnosti váhy.

Jak se hlásí nejistota?

Při prezentaci výsledků měření je důležité uvést související nejistotu. To pomáhá ostatním pochopit potenciální odchylky v měření a úroveň spolehlivosti ve vykazované hodnotě.

Pokud například naměříme hodnotu odporu 4.5 ohmu s nejistotou 0.1 ohmu, uvedeme ji jako 4.5 ± 0.1 ohmu. To znamená, že jsme si jisti, že skutečná hodnota odporu leží v rozsahu 4.4 ohmů až 4.6 ohmů.

Hodnoty nejistoty jsou relevantní v mnoha oborech, včetně výroby, designu, architektury, mechaniky a medicíny. Hrají klíčovou roli při přesném měření a vykazování výsledků. Vykazováním hodnot nejistoty můžeme minimalizovat chyby a zlepšit kvalitu našich měření, což je zásadní ve vědeckém výzkumu, inženýrství a zdravotnictví.

Co jsou absolutní a relativní chyby?

Chyby měření lze klasifikovat jako absolutní nebo relativní. Absolutní chyby popisují rozdíl mezi naměřenou hodnotou a očekávanou hodnotou. Na druhé straně relativní chyby měří, jak významný je tento rozdíl ve vztahu ke skutečné hodnotě.

Absolutní chyba

Pro výpočet absolutní chyby použijte vzorec: Absolutní chyba = naměřená hodnota – očekávaná hodnota. Pokud je například očekávaná hodnota 1.4 m/s a naměřená hodnota je 1.42 m/s, pak je absolutní chyba 1.42 m/s – 1.4 m/s = 0.02 m/s.

Je důležité si uvědomit, že absolutní chyba může být kladná nebo záporná. Kladná absolutní chyba znamená, že naměřená hodnota je vyšší než očekávaná hodnota, zatímco záporná absolutní chyba znamená, že naměřená hodnota je nižší. V tomto případě, protože absolutní chyba je kladná, je naměřená hodnota mírně vyšší než očekávaná hodnota.

Přestože absolutní chyba je užitečná pro posouzení přesnosti jednoho měření, neposkytuje informace o přesnosti měření. Abychom mohli vyhodnotit přesnost, musíme se podívat na rozsah hodnot získaných z více měření stejné veličiny.

Relativní chyba

Relativní chyba je míra rozdílu mezi naměřenou hodnotou a očekávanou hodnotou, vyjádřená jako procento očekávané hodnoty. Je zvláště užitečný pro porovnávání chyb v hodnotách různých velikostí, protože bere v úvahu měřítko měřených hodnot.

Vzorec pro relativní chybu je: Relativní chyba = (absolutní chyba / očekávaná hodnota) x 100 %. S použitím předchozího příkladu, kde absolutní chyba byla 0.02 m/sa očekávaná hodnota byla 1.4 m/s, je relativní chyba (0.02 m/s / 1.4 m/s) x 100 % ≈ 1.43 %.

Jak vidíme, relativní chyba je menší než absolutní chyba, protože bere v úvahu velikost hodnot. V tomto případě je rozdíl mezi naměřenou hodnotou a očekávanou hodnotou pouze 1.43 % očekávané hodnoty.

Dalším příkladem pro ilustraci rozdílu v měřítku je chyba na satelitním snímku. Pokud je chyba na satelitním snímku 10 metrů, zdá se velká, když vezmeme v úvahu vzdálenosti v lidském měřítku. Pokud však snímek měří 10 kilometrů na 10 kilometrů, je chyba 10 metrů relativně malá, protože se jedná pouze o 0.1 % celkové plochy (protože 10 km = 10000 10 m, a 10000 / (10000 100 × 0.0001 XNUMX) × XNUMX % = XNUMX % z hlediska poměru plochy). Hlášení relativní chyby v procentech pomáhá čtenářům lépe pochopit význam chyby ve vztahu k očekávané hodnotě.

Vykreslování nejistot a chyb

Nejistoty jsou typicky reprezentovány jako sloupce v grafech a grafech. Tyto pruhy sahají od naměřené hodnoty k maximálním a minimálním možným hodnotám. Rozsah mezi maximální a minimální hodnotou je rozsah nejistoty. Viz následující příklad sloupců nejistoty:

‍

Graf zobrazující body střední hodnoty každého měření. Pruhy vyčnívající z každého bodu ukazují, jak moc se mohou data lišit

Vezměme si například experiment, kde změříte rychlost koule pohybující se na vzdálenost 10 metrů. Rychlost míče se s pohybem snižuje. Označíte dílky po 1 metrech a pomocí stopek změříte dobu, za kterou se míč mezi jednotlivými dílky pohybuje. Vzhledem ke zpoždění vaší reakce na spuštění a zastavení stopek je nejistota 0.2 m/s. Předpokládejme, že získáte hodnoty rychlosti 1.4 m/s, 1.22 m/s, 1.15 m/s a 1.01 m/s. Měření včetně nejistoty jsou uváděna jako 1.4 ± 0.2 m/s, 1.22 ± 0.2 m/s, 1.15 ± 0.2 m/s a 1.01 ± 0.2 m/s. Graf výsledků lze uvést následovně:

Graf ukazuje přibližné znázornění. Tečky představují skutečné hodnoty 1.4 m/s, 1.22 m/s, 1.15 m/s a 1.01 m/s. Sloupce představují nejistotu ±0.2 m/s

V grafu tečky představují skutečné naměřené hodnoty (1.4 m/s, 1.22 m/s, 1.15 m/s a 1.01 m/s) a úsečky vyčnívající z každého bodu představují nejistotu ±0.2 m/s. Toto vizuální znázornění pomáhá rychle porozumět rozsahu, ve kterém může ležet skutečná hodnota pro každé měření.

Jak se šíří nejistoty a chyby?

Při provádění výpočtů s použitím hodnot s nejistotami a chybami je nezbytné tyto nejistoty ve výpočtech zohlednit, protože mohou ovlivnit přesnost konečného výsledku. Tento proces je známý jako šíření nejistoty nebo šíření chyb a může vést k odchylce od skutečných dat, nazývané také odchylka dat.

Existují dva běžné přístupy k šíření nejistoty: procentuální chyba a absolutní chyba. V přístupu s procentuální chybou vypočítáme relativní chybu pro každé měření a sečteme je, abychom určili celkové procentuální šíření chyby. V přístupu s absolutní chybou přidáváme absolutní chyby každého měření, abychom našli šíření celkové absolutní chyby.

Pokud například naměříme gravitační zrychlení jako 9.91 m/s² s nejistotou ±0.1 m/s² a hmotnost předmětu jako 2 ± 0.001 kg, relativní chyba pro gravitační zrychlení je (0.1 / 9.91) × 100 % ≈ /1 pro hmotnost a je relativní chyba pro hmotnost 0.001 % 2) × 100 % = 0.05 %. Abychom zjistili celkové procento šíření chyb, sečteme tyto relativní chyby dohromady.

Abychom mohli vypočítat šíření nejistoty ve výsledku výpočtu, musíme vypočítat očekávanou hodnotu se zahrnutím nejistot. Například při výpočtu síly vyvolané padajícím předmětem pomocí vzorce F = m * g (kde m je hmotnost ag je gravitační zrychlení), vypočítáme sílu pomocí naměřených hodnot spolu s jejich nejistotami. Výsledek je pak vyjádřen jako „očekávaná hodnota ± hodnota nejistoty“.

Hlášení nejistot a chyb v našich výsledcích je zásadní, aby ostatní mohli vyhodnotit přesnost a spolehlivost našich měření a výpočtů.

Vykazování nejistot

Abychom uvedli výsledek měření s nejistotou, zapíšeme vypočítanou hodnotu následovanou nejistotou. Množství můžeme pro názornost uzavřít i do závorek. Pokud například změříme sílu a zjistíme, že síla má nejistotu 0.21 Newtonu a naše naměřená hodnota je 19.62 Newtonu, uvedeme ji jako 19.62 ± 0.21 Newtonu nebo (19.62 ± 0.21) N.

Šíření nejistot

Při šíření nejistot ve výpočtech existují specifická pravidla pro různé aritmetické operace:

• Sčítání a odečítání: Při sčítání nebo odečítání hodnot je celková nejistota součtem jednotlivých nejistot. Máme-li například dvě měření (A ± a) a (B ± b) a sečteme je, výsledek je (A + B) ± (a + b). Předpokládejme, že přidáme dva kusy kovu o délkách 1.3 m a 1.2 m, s nejistotami ±0.05 ma ±0.01 m, v tomto pořadí. Celková délka je 1.3 + 1.2 = 1.5 m a celková nejistota je ± (0.05 m + 0.01 m) = ±0.06 m.

• Násobení přesným číslem: Při násobení hodnoty přesným číslem se celková nejistota vypočítá vynásobením nejistoty tímto přesným číslem. Pokud například počítáme obsah kruhu o poloměru r = 1 ± 0.1 m, a vzorec pro obsah kruhu je A = πr². Nejistota v oblasti je 2πr×0.1. Dosadíme-li r = 1 m, dostaneme 2×3.1415×1×0.1 = 0.6283 m² (přibližná hodnota nejistoty).

• Dělení přesným číslem: Při dělení hodnoty přesným číslem se celková nejistota vypočítá vydělením nejistoty touto přesnou hodnotou. Máme-li například délku 1.2 m s nejistotou ±0.03 m a vydělíme ji 5, nejistota ve výsledku je ±0.03 / 5 = ±0.006 m.

Odchylka dat

Při provádění výpočtů s hodnotami, které mají nejistoty, se výsledná data budou lišit od skutečných dat. Tuto odchylku můžeme vypočítat pomocí odchylky dat (reprezentované symbolem 'δ'). Výpočet odchylky dat závisí na typu operace prováděné na hodnotách.

• Odchylka dat po sečtení nebo odečtení: Pro výpočet odchylky dat výsledku použijeme vzorec δ = √(a² + b²), kde aab jsou nejistoty sčítaných nebo odečítaných hodnot. Odečteme-li například dvě hodnoty, A = 10 ± 0.2 a B = 8 ± 0.3, výsledkem je C = A – B = 2 ± 0.4. Odchylka dat C je δ = √(0.2² + 0.3²) = √(0.04 + 0.09) = 0.36.

• Odchylka dat po násobení nebo dělení: Pro násobení nebo dělení více měření používáme poměr nejistota – reálná hodnota. Pokud máme dvě hodnoty A ± a a B ± b a vynásobíme je, výsledkem je C = A * B ± (A*B) * √((a/A)² + (b/B)²). Pokud existuje více než dvě hodnoty, přidáme do rovnice další členy.

• Odchylka dat, pokud se jedná o exponenty: Pokud má hodnota exponent, vynásobíme exponent nejistotou a poté použijeme vzorec pro násobení a dělení. Máme-li například y = (A ± a)² * (B ± b)³, odchylka dat je δ = √((2Aa)² + (3Bb)²). Pokud existuje více než dvě hodnoty, přidají se do rovnice další členy.

Výpočet odchylky dat nám pomáhá posoudit dopad nejistot na naše výsledky a určit přesnost a spolehlivost našich měření a výpočtů.

V procesu zpracování chyb a nejistot se zaokrouhlování čísel často stává nezbytným krokem k tomu, aby byly hodnoty lépe ovladatelné. To platí zejména tehdy, když se jedná o nepatrné nebo extrémně velké nejistoty, které mají zanedbatelný dopad na celkové výsledky. Zaokrouhlení může zahrnovat buď zvýšení hodnoty (zaokrouhlení nahoru), nebo její snížení (zaokrouhlení dolů).​

Například při měření gravitační konstanty na Zemi může být naměřená hodnota 9.81 m/s² s nejistotou ±0.10003 m/s². Zde je část hodnoty nejistoty za prvním desetinným místem, 0.0003, nepatrná ve srovnání s celkovou nejistotou 0.1. V důsledku toho je rozumné vyřadit číslice za prvním desetinným místem a zaokrouhlit nejistotu na ±0.1 m/s², protože toto zjednodušení nijak výrazně neovlivní integritu měření.​

Je však nanejvýš důležité mít na paměti, že zaokrouhlování samo o sobě může způsobit další chyby, zejména pokud je počet platných číslic snížen na velmi nízkou úroveň. Před rozhodnutím o zaokrouhlení nebo zkrácení hodnot je tedy zásadní pečlivě posoudit požadovanou úroveň přesnosti pro měření a výpočty, které jsou k dispozici.

Zaokrouhlování celých a desetinných čísel

Proces zaokrouhlování čísel vyžaduje určení, které hodnoty jsou významné, přičemž je třeba vzít v úvahu jak velikost dat, tak požadovanou úroveň přesnosti pro měření a výpočty. Při zaokrouhlování existují dva základní přístupy: zaokrouhlování nahoru a zaokrouhlování dolů. Volba mezi těmito dvěma závisí na číslici bezprostředně následující za nejnižší významnou číslicí řádu.​

Při zaokrouhlování nahoru eliminujeme méně významné číslice. Například 3.25 lze zaokrouhlit nahoru na 3.3. Naopak při zaokrouhlování dolů vyřadíme i číslice, které považujeme za méně relevantní. Například 76.24 lze zaokrouhlit dolů na 76.2.​
Obecně platí, že pokud číslo končí číslicí v rozsahu 1 až 4, zaokrouhluje se dolů. Pokud je číslice na konci v rozsahu 5 až 9, zaokrouhluje se nahoru. Je pozoruhodné, že když je číslice 5, je obvykle zaokrouhlena nahoru. Například 3.15 i 3.16 jsou zaokrouhleny nahoru na 3.2, zatímco 3.14 je zaokrouhleno dolů na 3.1.​

Když se objeví problém, můžeme z daných údajů často odvodit požadovaný počet desetinných míst (nebo platných číslic). Pokud je například graf nebo sada dat prezentována s čísly pouze na dvě desetinná místa, je rozumné očekávat, že naše odpovědi by měly být také uvedeny na dvě desetinná místa. Věnovat velkou pozornost požadované úrovni přesnosti je klíčem k určení vhodného počtu desetinných míst nebo platných číslic.

Kulaté veličiny s nejistotami a chybami

Při práci s měřeními, která jsou doprovázena chybami a nejistotami, hrají dominantní roli při určování celkové nejistoty a chybových hodnot hodnoty s většími chybami a nejistotami. Při odpovídání na otázky, které specifikují určitý počet desetinných míst nebo platných číslic, je vyžadován odlišný přístup.​

Uvažujme například dvě hodnoty: (9.3 ± 0.4) a (10.2 ± 0.14). Při sčítání těchto hodnot musíme přičíst i jejich nejistoty. Celková nejistota se vypočítá jako součet absolutních hodnot jednotlivých nejistot, který je v tomto případě ±(0.4 + 0.14)= ±0.54. Zaokrouhlením 0.54 na desetinu dostaneme 0.5. Takže výsledek sečtení dvou čísel spolu s jejich nejistotami a zaokrouhlením je 19.5 ± 0.5.

Pokud máme za úkol vynásobit dvě hodnoty, které mají obě nejistoty, a potřebujeme vypočítat rozšířenou celkovou chybu, můžeme vypočítat procentuální chybu pro každou hodnotu a pak je sečíst, abychom získali celkovou chybu. Například, pokud A = 3.4 ± 0.01 a B = 5.6 ± 0.1, procentuální chyby pro A a B se vypočítají jako (0.01 / 3.4) × 100 % ≈ 0.29 % a (0.1 / 5.6) × 100 % ≈ 1.78 %, v daném pořadí. Celková chyba je součtem těchto procentuálních chyb, což je přibližně 2.07 %. Pokud jsme povinni aproximovat odpověď na jedno desetinné místo, můžeme buď jednoduše vzít první desetinnou číslici, nebo zaokrouhlit číslo podle standardních pravidel zaokrouhlování.

Stručně řečeno, nejistoty a chyby zavádějí variabilitu měření a souvisejících výpočtů. Hlášení nejistot je zásadní, protože umožňuje uživatelům porozumět potenciálnímu rozsahu odchylek naměřených hodnot. Chyby a nejistoty se šíří během výpočtů zahrnujících data s takovými nedokonalostmi a je nezbytné vzít v úvahu chybu dat s největší chybou nebo nejistotou. Výpočet, jak se chyby šíří, je cenný, protože nám umožňuje posoudit spolehlivost našich výsledků.